Teoria de Filtrado y Procesamiento de Imágenes

¿Como desarrollar una teoria para filtrado linear (filtros pasa-alta, pasa-baixa e pasa-banda) usando la transformada discreta de Fourier?
A continuación desarrollaré una teoría que responde a esta pregunta fundamentada en [1]. Para desarrollar la teoría necesitamos entender el significado de alta y baja frecuencia en imágenes. Necesitamos entender, también, que son máscaras para hacer convolución, cuantos tipos de convolución se tienen, así como, cuando usamos uno u otro tipo de convolución.

Alta Frecuencia en imágenes:   Se dice que una imagen presenta alta frecuencia, en el dominio de Fourier, si tiene valores grandes en los componentes de alta frecuencia, es decir, los datos están cambiando rápidamente en una escala de distancia corta, por ejemplo una página de texto. Otro ejemplo es el ruido, el cual es generalmente considerado como alta frecuencia, así un filtrado de paso bajo puede ser utilizado para la reducción del ruido.

Baja Frecuencia en imágenes:  Se dice que una imagen tiene baja frecuencia si sus valores son pequeños en los componentes de baja frecuencia, es decir, la imagen contiene objetos que ocupan gran parte de ella sin cambiar bruscamente de intensidad. Por ejemplo un único objeto bastante simple, que ocupa la mayor parte de la imagen.

Creando un Filtro de Pasa Banda con Gaussianas con MAPLE

En este post desarrollaré un ejercicio que trata acerca de la "creación" de un Filtro de Pasa Banda usando Gausianas. Una Gausiana esta definida como: $$G_{\alpha} = \frac{1}{2\sqrt[]{\pi \alpha}}\exp(-\frac{x^2}{4\alpha})$$ donde $$\alpha > 0.$$ Pues bien, vamos a definir nuestro filtro de pasa banda como: $$h(x)=G_{\alpha}(x) + G_{\beta}(x).$$ Para poder ver experimentalmente que el filtro definido arriba es de pasa banda tendríamos aplicar la propiedad de modulación en cada Gaussiana, quedando la expresión arriba en el dominio de Fourier de la siguiente forma: $$h(x)=G_{\alpha}(x)\exp (j w_0 x) + G_{\beta}(x)\exp (j w_1 x).$$ $$\iff$$ $$H(w) = \exp(-\alpha(w-w_0)^2) + \exp(-\beta(w-w_1)^2)$$ Haciendo ω_0 = 2 y ω_1 = -2 Graficaremos en MAPLE el filtro de pasa banda definido por H(ω): Dando los valores de α y β tenemos:

Teorema de la Convolución Circular

En el post anterior había comentado acerca de la propiedad de dezplazamiento circular de las señales contínuas. Pues bien, en este nuevo post haré uso de esa propiedad para demostrar (según [1]) de manera similar el Teorema de la Convolución Circular.

Teorema 1: A DFT de la convolución circular de dos secuencias es igual al producto de las DFTs de las sequencias. Es decir si $$x[n]=\sum_{m=0}^{N-1}v[n-m]_c u[m]$$ entonces $$DFT\left\{{x[n]}\right\}=DFT\left\{{v[n]}\right\}DFT\left\{{u[n]}\right\}.$$ Demostración: $$DFT\left\{{x[n]}\right\}=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]\exp(\frac{-2 j \pi k n}{N})$$

Desplazamiento Circular

En el campo del procesamiento de señales pocas veces había escuchado acerca de la convolución circular. Es por eso que en esta, y otra, entrada me encargaré de definir matemáticamente la convolución circular y algunas de sus propiedades en señales discretas.
Para esto primero definimos el $l-$shift circular de una secuencia $u[n]$ como $u[n-l \mod N]=u[n-l]_c$, en la figura a continuación podemos apreciar un ejemplo para $l=2,N=5$

Algoritmo para Decodificação de Códigos de Goppa Binário

Dentre os sistemas criptográficos assimétricos ou de chave pública práticos, eficientes e seguros temos: DSA, RSA, baseados em curvas Elípticas, entre outros. A segurança desses sistemas está ameaçada devido ao advento da computação quântica e do algoritmo quântico desenvolvido por Peter Shor em 1994, que resolve o problema da fatoração de números inteiros em tempo polinomial.

Em 1978 Robert McEliece propôs um sistema criptográfico aleatório que, na época,  não foi posto em prática devido ao fato do tamanho de suas chaves serem consideravelmente grandes. Atualmente esse sistema tem tido muita aceitação por parte da comunidade de pesquisadores em criptografia devido à sua resistência aos ataques provenientes dos algoritmos quânticos, como o algoritmo o de Shor. Outra vantagem deste sistema criptográfico é o fato de que seus algoritmos de cifração e decifração são mais rápidos, no que se refere à complexidade de tempo, em comparação com o sistema consolidado RSA.

Este post está focado na implementação do algoritmo de decodificação para códigos de Goppa [1]. Para isto, apresentarei, embaixo, esta implementação feita no CAS SAGE. Note que o código escrito ali pode ser "rodado" fazendo click no botão Evaluate.

Implementação do Algoritmo do Patterson

[1] N.J Patterson, ``The Algebraic Decoding of Goppa Codes", { IEEE Transactions on Information Theory}, IT-21(2):203-207, 1974. ¿Te ha gustado esta entrada? Entonces échame un cable compartiéndola en Twitter. Gracias!

Análisis de Convergencia del problema de evolución no linear

En el siguiente trabajo realizo un análisis de Convergencia y mejoras en la implementación de algunos métodos presentados para resolver el problema de evolución no linear u'(t)=u(t)^2.

Click aquí para ver el trabajo sobre Análisis de Convergencia del problema de evolución no linear

Análisis de Estabilidad del Método de Euler

El Método de Euler es el primer Método en ser estudiado dentro de los métodos para resolver ecuaciones diferenciales de forma númerica, esto debido a su naturaleza didáctica para estudiarlo con respecto a otros métodos mas sofisticados, A continuación presento un pequeño trabajo sobre análisis de estabilidad de este método.

Trabajo Aquí (En Portugués)

Implementación del ADI Peaceman Rashford

El Esquema de Peaceman-Rashford es un Alternativa de Implementación de Métodos Implíctos, usado para tener un ahorro computacional, ya que permite trabajar con matrices tridiagonales, a continuación presento una implementación de este esquema hecha en maple, cualquier duda, sugerencia sera bienvenida.

trabajo sobre Implementación del ADI Peaceman Rashford aquí

(

Métodos de Adams Bashforth e Maple

Dentro dos metodos para a solução númerica de equações diferenciales, estão os que são obtidos por integração numerica, exemplos de istos métodos, são os Métodos de Adams Bashforth. O estudo da estabilidade e consistencia é fundamental para verificar se o método que está-se estudando é convergente, neste trabalho incidiré especificamente na estabilidade dos métodos de Adams Bashforth de primeira, segunda, terça e quarta ordem.

Aqui el trabajo completo(en Portugués)

Ley de Composición en Matemáticas

Estaba buscando en la internet que es una Ley de Composición u operación matemática, como definición, y que lo pudiera entender bien ...lei lo que dice wikipedia pero así mismo no entendía. Lo entendí cuando leí Ley Composición Interna y Externa de forma separada. La conclusión de esa lectura, "por separada", es la que les presento aquí y espero sea de tu utilidad.
Una Ley de Composición Interna, en conjuntos, podemos definirla como: $$G\times G \rightarrow G$$ Por ejemplo la operación suma en el conjunto de los números enteros. Como sabemos siempre que dos números enteros son sumados, el resultado será también, un número entero. Por ejemplo $$G\times G \rightarrow G \\ 3+2 \rightarrow 5$$ Una ley de composición externa en conjuntos podemos definirlo como: $$S\times V \rightarrow V,$$ es decir una operación que relaciona elementos de distintos conjuntos pero que llegan a uno de ellos. Por ejemplo sea S el conjunto de escalares(Reales o Complejos) y V un conjunto de vectores entonces tenemos $$S \times V \rightarrow V \\ 4*(4,-2) = (16,-8).$$ De estas dos definiciones entendí entonces lo que dice wikipedia respecto a lo que es una Ley de Composición.

 "En matemática una operación o ley de composición es la acción de un operador sobre una selección de elementos de un conjunto. El operador toma los elementos iniciales y los relaciona con otro elemento de un conjunto final que puede ser de la misma naturaleza o no; esto se conoce técnicamente como Ley de Composición."

Vamos por partes ...

 "En matemática una operación o ley de composición es la acción de un operador sobre una selección de elementos de un conjunto..." 

Como por ejemplo la operación división que conocemos, en el conjunto $$\mathbb{R} - \left\{{0}\right\},$$

"...el operador toma los elementos iniciales y los relaciona con otro elemento de un conjunto final que puede ser de la misma naturaleza o no." 

Así, en el caso de elementos de un conjunto de la misma naturaleza tenemos la Ley de Composición Interna, de otra forma tenemos la Ley de Composición Externa.

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