Teorema de la Convolución Circular

En el post anterior había comentado acerca de la propiedad de dezplazamiento circular de las señales contínuas. Pues bien, en este nuevo post haré uso de esa propiedad para demostrar (según [1]) de manera similar el Teorema de la Convolución Circular.

Teorema 1: A DFT de la convolución circular de dos secuencias es igual al producto de las DFTs de las sequencias. Es decir si $$x[n]=\sum_{m=0}^{N-1}v[n-m]_c u[m]$$ entonces $$DFT\left\{{x[n]}\right\}=DFT\left\{{v[n]}\right\}DFT\left\{{u[n]}\right\}.$$ Demostración: $$DFT\left\{{x[n]}\right\}=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]\exp(\frac{-2 j \pi k n}{N})$$
Reemplazando $x[n]$: $$DFT\left\{{x[n]}\right\}=\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{m=0}^{N-1}v[n-m]_c u[m]\exp(\frac{-2 j \pi k n}{N})$$ Agrupando: $$DFT\left\{{x[n]}\right\}=\sum_{m=0}^{N-1}u[m]\sum_{n=0}^{N-1}v[n-m]_c \exp(\frac{-2 j \pi k n}{N})$$
Por el post anterior $$DFT\left\{{x[n]}\right\}=\sum_{m=0}^{N-1}u[m]DFT\left\{{v[n]}\right\}\exp(-2j\pi k m/N)$$ Luego: $$DFT\left\{{x[n]}\right\}=\sum_{m=0}^{N-1}u[m]\exp(-2j\pi k m/N)DFT\left\{{v[n]}\right\}$$ Sin pérdida de generalidad: $$DFT\left\{{x[n]}\right\}=\sum_{n=0}^{N-1}u[n]\exp(-2j\pi k n/N)DFT\left\{{v[n]}\right\}$$ Por lo tanto: $$DFT\left\{{x[n]}\right\}=DFT\left\{{u[n]}\right\}DFT\left\{{v[n]}\right\}$$ [1] Anil K. Jain, Fundamentals Of Digital Image Processing Prentice-Hall information and system sciences se- ries. Tata Mac Graw Hill, Egypt, 1997.