juaninf - notas de psudoprogramador

Wednesday, January 30, 2013

Creando un Filtro de Pasa Banda con Gaussianas con MAPLE

En este post desarrollaré un ejercicio que trata acerca de la "creación" de un Filtro de Pasa Banda usando Gausianas. Una Gausiana esta definida como: $$G_{\alpha} = \frac{1}{2\sqrt[]{\pi \alpha}}\exp(-\frac{x^2}{4\alpha})$$ donde $$\alpha > 0.$$ Pues bien, vamos a definir nuestro filtro de pasa banda como: $$h(x)=G_{\alpha}(x) + G_{\beta}(x).$$ Para poder ver experimentalmente que el filtro definido arriba es de pasa banda tendríamos aplicar la propiedad de modulación en cada Gaussiana, quedando la expresión arriba en el dominio de Fourier de la siguiente forma: $$h(x)=G_{\alpha}(x)\exp (j w_0 x) + G_{\beta}(x)\exp (j w_1 x).$$ $$\iff$$ $$H(w) = \exp(-\alpha(w-w_0)^2) + \exp(-\beta(w-w_1)^2)$$ Haciendo ω_0 = 2 y ω_1 = -2 Graficaremos en MAPLE el filtro de pasa banda definido por H(ω): Dando los valores de α y β tenemos:

> restart: α :=4 y β := 4 :
$$f:= x \rightarrow \frac{1}{2} \frac{\exp(\frac{-x^2}{4\alpha})}{\sqrt[]{\pi\alpha}}\exp(-2ix):g:= x \rightarrow \frac{1}{2} \frac{\exp(\frac{-x^2}{4\beta})}{\sqrt[]{\pi\beta}}\exp(2ix) $$
Aplicando la Transformada de Fourier a las respectivas Gausianas tenemos:
> $$F:= w \rightarrow \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\exp(-2i\pi wx) dx : G:= w \rightarrow \int_{-\infty}^{\infty}g(x)\exp(-2i\pi wx) dx $$
Creando nuestro filtro de pasa banda:
> $$H:= w \rightarrow F(w) + G(w)$$
Graficando el filtro
> $$plot([abs(H(w))], w = -1 .. 1, color = 'red', title = 'H(w)', labels = ['w', 'H(w)'])$$
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