juaninf - notas de psudoprogramador

Saturday, February 02, 2013

Teoria de Filtrado y Procesamiento de Imágenes

¿Como desarrollar una teoria para filtrado linear (filtros pasa-alta, pasa-baixa e pasa-banda) usando la transformada discreta de Fourier?
A continuación desarrollaré una teoría que responde a esta pregunta fundamentada en [1]. Para desarrollar la teoría necesitamos entender el significado de alta y baja frecuencia en imágenes. Necesitamos entender, también, que son máscaras para hacer convolución, cuantos tipos de convolución se tienen, así como, cuando usamos uno u otro tipo de convolución.

Alta Frecuencia en imágenes:   Se dice que una imagen presenta alta frecuencia, en el dominio de Fourier, si tiene valores grandes en los componentes de alta frecuencia, es decir, los datos están cambiando rápidamente en una escala de distancia corta, por ejemplo una página de texto. Otro ejemplo es el ruido, el cual es generalmente considerado como alta frecuencia, así un filtrado de paso bajo puede ser utilizado para la reducción del ruido.

Baja Frecuencia en imágenes:  Se dice que una imagen tiene baja frecuencia si sus valores son pequeños en los componentes de baja frecuencia, es decir, la imagen contiene objetos que ocupan gran parte de ella sin cambiar bruscamente de intensidad. Por ejemplo un único objeto bastante simple, que ocupa la mayor parte de la imagen.



Máscara:  Es un objeto representado por una matriz donde sus entradas representan pesos, con estas máscaras se realiza convolución con imágenes con el objetivo de corregir, suavizar o realzar determinadas características de una imagen para alguna aplicación específica.

Convolución: Cuando implementamos convolución en imágenes, tenemos que cuidar de los valores de la frontera, porque en algún momento la máscara de convolución va quedar "fuera" de la imagen en el proceso, Figura 1. Dependiendo de como llenamos los valores que quedan fuera se determinará si se implementa o no la convolución circular:
  • Si llenamos los valores, que quedan fuera, con 0, entonces será una convolución linear.
  • Si llenamos los valores que quedan fuera por periodicidad entonces es probable que usemos convolución circular.
Figura 1


Dominio del Filtrado: Los filtros pueden ser hechos para el dominio del espacio o de la frecuencia. En el dominio del espacio por lo general se aplica convolución y en el dominio de la frecuencia se aplica multiplicación. 

Figura 2: Dominio Espacial

Figura 3: Dominio de la Frecuencia
 h(x,y) o H(u,v) en las Figuras 2 y 3 son las máscaras definidas anteriormente.

Tipos de Filtros

Filtro Pasa Baja: Deja pasar apenas los componentes de mas baja frecuencia (atenúan el contraste).
$$ \begin{equation} w(s,t)=\dfrac{e^{-\dfrac{s^2+t^2}{\sigma^2}}}{2\pi\sigma^2} \label{eq:1} \end{equation} $$ Aquí σ representa la desviación estándar.

Filtro Pasa Alta: Deja pasar apenas los componentes de mas alta frecuencia según la definición hecha mas arriba. Estos filtros son usados generalmente para realzar los bordes de una imagen. $$ w(s,t) =\dfrac{4}{\alpha+1} \left( \begin{array}{ccc} \alpha/4 & (1-\alpha)/4 & \alpha/4 \\ (1-\alpha)/4 & -1 & (1-\alpha)/4 \\ \alpha/4 & (1-\alpha)/4 & \alpha/4 \end{array} \right) $$.

Filtro Pasa Banda: Selecciona un intervalo de frecuencias de la señal (banda de frecuencia) para ser realzado, removiendo, o atenuando los componentes fuera del área seleccionada. Se puede usar los teoremas de la convolución tanto circular como linear para aplicar los filtros de pasa baja, alta, e banda; o en su forma dual los teoremas de la multiplicación para esos dos tipos de convolución.

En la imagen a seguir vemos un ejemplo de aplicación de los Filtros Pasa Alta y Pasa Baja vistos en las ecuaciones arriba. Como es de esperarse el filtro de Pasa Alta resalta los bordes de los objetos en la imagen; y el de Pasa Baja atenúa las intensidades de los pixeles.

La imagen de la izquierda es la original, la del centro = original + máscara con  Filtro de Pasa Alta y la de la derecha  =  origianl + máscara con Filtro de Pasa Baja.

¿Te ha gustado esta entrada? Entonces échame un cable compartiéndola en Twitter. Gracias!
Post a Comment
Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...