Desplazamiento Circular

En el campo del procesamiento de señales pocas veces había escuchado acerca de la convolución circular. Es por eso que en esta, y otra, entrada me encargaré de definir matemáticamente la convolución circular y algunas de sus propiedades en señales discretas.
Para esto primero definimos el $l-$shift circular de una secuencia $u[n]$ como $u[n-l \mod N]=u[n-l]_c$, en la figura a continuación podemos apreciar un ejemplo para $l=2,N=5$

Definición: La convolución circular entre dos señales discretas $u[n]$ y $v[n]$ se define como: $$x[n]=\sum_{k=0}^{N}v[n-k]_c u[k]$$ Teorema1: A $DFT$ de la convolución circular de dos secuencias es igual al producto de las $DFT^s$ de las sequencias. Es decir si $$x[n]=\sum_{m=0}^{N}v[n-m]_c u[m],$$ entonces $$DFT\left\{{x[n]}\right\}=DFT\left\{{v[n]}\right\}DFT\left\{{u[n]}\right\}.$$
Para realizar la demostración del Teorema 1 necesitaremos el Teorema 2 descrito a seguir.
Teorema 2: $$DFT\left\{{x[n-m \mod N]}\right\} = DFT\left\{{x[n]}\right\}\exp(-2j\pi k m/N)$$
Prueba
$$ DFT\left\{{x[n-m \mod N]}\right\}=\sum_{n=0}^{N-1}x[n-m \mod N]\exp(-2j\pi k n/N)\\ =\exp(2j\pi k m/N)\exp(-2j\pi k m/N)\sum_{n=0}^{N-1}x[n-m \mod N]\exp(-2j\pi k n/N)\\ =\exp(2j\pi k m/N)\sum_{n=0}^{N-1}x[n-m \mod N]\exp(-2j\pi k [(n-m)\mod N]/N)\\ =\exp(2j\pi k m/N)DFT\left\{{x[n]}\right\} $$ Repare que hemos usado el hecho de que $\exp(n \mod N) = \exp(n)$ y que el orden de los sumandos no altera la suma.
Ahora sí estamos listo para probar el Teorema 1. ¿Te ha gustado esta entrada? Entonces échame un cable compartiéndola en Twitter. Gracias!