Creando un Filtro de Pasa Banda con Gaussianas con MAPLE

En este post desarrollaré un ejercicio que trata acerca de la "creación" de un Filtro de Pasa Banda usando Gausianas. Una Gausiana esta definida como: $$G_{\alpha} = \frac{1}{2\sqrt[]{\pi \alpha}}\exp(-\frac{x^2}{4\alpha})$$ donde $$\alpha > 0.$$ Pues bien, vamos a definir nuestro filtro de pasa banda como: $$h(x)=G_{\alpha}(x) + G_{\beta}(x).$$ Para poder ver experimentalmente que el filtro definido arriba es de pasa banda tendríamos aplicar la propiedad de modulación en cada Gaussiana, quedando la expresión arriba en el dominio de Fourier de la siguiente forma: $$h(x)=G_{\alpha}(x)\exp (j w_0 x) + G_{\beta}(x)\exp (j w_1 x).$$ $$\iff$$ $$H(w) = \exp(-\alpha(w-w_0)^2) + \exp(-\beta(w-w_1)^2)$$ Haciendo ω_0 = 2 y ω_1 = -2 Graficaremos en MAPLE el filtro de pasa banda definido por H(ω): Dando los valores de α y β tenemos:

Teorema de la Convolución Circular

En el post anterior había comentado acerca de la propiedad de dezplazamiento circular de las señales contínuas. Pues bien, en este nuevo post haré uso de esa propiedad para demostrar (según [1]) de manera similar el Teorema de la Convolución Circular.

Teorema 1: A DFT de la convolución circular de dos secuencias es igual al producto de las DFTs de las sequencias. Es decir si $$x[n]=\sum_{m=0}^{N-1}v[n-m]_c u[m]$$ entonces $$DFT\left\{{x[n]}\right\}=DFT\left\{{v[n]}\right\}DFT\left\{{u[n]}\right\}.$$ Demostración: $$DFT\left\{{x[n]}\right\}=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]\exp(\frac{-2 j \pi k n}{N})$$